ZH

五、特征值与特征向量

Subpage

引言

eigenvector
eigenvalue

Ax=λxAx=\lambda x 与 det(A−λI)=0det(A-\lambda I)=0

det(A)det(A) 与 det(A+μI)det(A+\mu I)

矩阵的 levellevel

对角化

矩阵的对角化形式

A=XΛX−1A=X\Lambda X^{-1}

对角化的应用 Ak^k

差分方程

斐波那契数列

马尔科夫过程

马尔科夫矩阵

系统稳定

uk=XΛkX−1u0=c1λ1kx1+⋯+cnλnkxn\textbf{u}_k=X\Lambda^k X^{-1} u_0=c_1\lambda_1^k x_1+ \cdots +c_n\lambda_n^k x_n

矩阵的指数 eAte^{At}

谱定理

  • Every real symmetric matrix can be diagonalized by an orthogonal matrix.
A=QΛQTA = QΛQT
  • Every Hermitian matrix can be diagonalized by a unitary matrix.
A=UΛUHA=UΛU^H
  • The columns of Q or U contain a complete set of orthonormal eigenvectors

注

实对称矩阵的不同特征值对应正交特征向量

具有谱定理的一般情况
  • AH=AHAA^H = A^HA
  • 正规矩阵总是有一个完备的标准正交特征向量集
  • 示例：厄米矩阵、斜厄米矩阵和酉矩阵
  • 如果AA是正规的，AAHAA^H是厄米矩阵

特殊的复数矩阵

共轭转置矩阵的性质

反共轭转置矩阵的性质

共轭转置矩阵的对角化

矩阵的对称拆解

相似矩阵与相似变换

Schur’s Lemma

若尔当形

defective matrix 未必有相同的特征值，但必定有相同的特征向量

正定矩阵

定义
xTAx>0x^TAx>0

or

  • All the eigenvalues of A: λi>0λ_i > 0
  • All the upper left submatrices Ak_k have positive determinants
  • All the pivots of A: di>0d_i > 0, because di=det(Ai)det(Ai−1)d_i=\frac{det(A_i)}{det(A_{i-1})}
  • There is a matrix R with independent columns generating A = RT^TR

二次型

nn维的椭球

椭球体和特征值/特征向量

半正定矩阵

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