线性变换
线性组合
线性无关与线性相关
线性无关或相关的定义
For k k k v 1 v1 v 1 v 2 v2 v 2 k k k c 1 v 1 c1v1 c 1 v 1 c 2 v 2 c2v2 c 2 v 2 c k v k ck vk c k v k c k ck c k v 1 v1 v 1 v 2 v2 v 2 v k vk v k
Otherwise, they are linearly dependent and one of them is a linear combination of the others.
矩阵
矩阵的概念和形式
为了简化记录某一线性变换操作的信息
矩阵 = 线性变换
线性无关与可逆矩阵
一旦接受了"矩阵 = 线性变换"的理念，我们马上就想知道：这种操作是否可以逆转？
线性相关与奇异矩阵
常见矩阵
单位矩阵
基础变换矩阵
特殊矩阵
矩阵的基础操作
逆矩阵
转置矩阵
理解矩阵乘法的四种视角
在一次线性变换的基础上，再进行一次线性变换
行与列的内积
列线性组合列
行线性组合行
列*行的矩阵叠合
高斯消元法
如果直接解
[ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ] [ x 1 x 2 x 3 ] = [ b 1 b 2 b 3 ] \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
b_1\\
b_2\\
b_3
\end{bmatrix} a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 x 1 x 2 x 3 = b 1 b 2 b 3 A=LU分解
依据高斯消元法，可以将一个矩阵 A A A L L L U U U
A = L U A = LU A = LU A = L U A = LU A = LU A = L D U A = LDU A = L D U L L L
[ a 0 0 b c 0 d e f ] \begin{bmatrix}
a & 0 & 0\\
b & c & 0\\
d & e & f
\end{bmatrix} a b d 0 c e 0 0 f 的矩阵，U U U
[ a b c 0 d e 0 0 f ] \begin{bmatrix}
a & b & c\\
0 & d & e\\
0 & 0 & f
\end{bmatrix} a 0 0 b d 0 c e f 的矩阵。
此时求解
A x = b Ax = b A x = b 即求解
L U x = b LUx = b LU x = b 左右同乘 L − 1 L^{-1} L − 1
U x = L − 1 b = c Ux = L^{-1}b = c U x = L − 1 b = c 此时可由下而上解出 x x x
Gauss-Jordan Method