ZH

四、弦波稳态分析分析

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向量分析

前置三角函数知识

正弦、余弦互化与叠加

由

可得

sin(ωt+θ)=cos(ωt+θ−π2)sin(\omega t+\theta)=cos(\omega t+\theta-\frac{\pi}{2})−sin(ωt+θ)=cos(ωt+θ+π2)-sin(\omega t+\theta)=cos(\omega t+\theta+\frac{\pi}{2})−cos(ωt+θ)=cos(ωt+θ+π)-cos(\omega t+\theta)=cos(\omega t+\theta+\pi)Acos(ωt)+Bsin(ωt)=Ccos(ωt−θ)=C(cosωtcosθ+sinωtsinθ)Acos(\omega t)+Bsin(\omega t)= Ccos(\omega t-\theta) = C(cos\omega t cos\theta+sin\omega t sin\theta)

其中

C=A2+B2,θ=tan⁡−1BAC=\sqrt{A^2+B^2} ,\theta=\tan^{-1}\frac{B}{A}
欧拉公式
ejθ=cosθ+jsinθ=1∠θe^{j\theta}=cos\theta+j sin\theta=1\angle \theta

相量变换

相域的元件模型

相域中的电阻

V(t)=Ri(t),i(t)=1RV(t)=GV(t)V(t)=R i(t),i(t)=\frac{1}{R}V(t)=GV(t)

设

i(t)=Imcos⁡(ωt+θ),I⃗=Im∠θi(t)=I_m \cos(\omega t+\theta),\qquad \vec{I}=I_m \angle \theta

则

V(t)=RImcos(ωt+θ)V(t)=R I_m cos(\omega t+\theta)

两边同时进行相域转换

V⃗=RIm∠θ=RI⃗\vec{V}=R I_m\angle \theta=R\vec{I}

因此

Z=V⃗I⃗=RZ=\frac{\vec{V}}{\vec{I}}=R

相域中的电感

V(t)=Ldi(t)dt,iL(t)=iL(0)+1L∫0τV(τ) dτV(t)=L\frac{di(t)}{dt},i_L(t)= i_L(0)+\frac{1}{L}\int_0^{\tau} V(\tau)\,d\tau

本章主要探讨交流稳态分析，故：

iL(t)=1L∫−∞τV(τ) dτi_L(t)=\frac{1}{L}\int_{-\infin}^{\tau} V(\tau)\,d\tau

设

i(t)=Imcos(ωt+θ),I⃗=Im∠θi(t)=I_m cos(\omega t+\theta),\vec{I}=I_m \angle \theta

则

V(t)=Lddt[Imcos(ωt+θ)]=−ωLImsin(ωt+θ)=ωLImcos(ωt+θ+90∘)\begin{aligned} V(t) &=L\frac{d}{dt}\left[I_m cos(\omega t+\theta)\right] =-\omega L I_m sin(\omega t+\theta)\\ &=\omega L I_m cos(\omega t+\theta+90^\circ) \end{aligned}

两边同时进行相域转换

V⃗=ωLIm∠(θ+90∘)=ωLImej(θ+90∘)=ωLImejθej90∘=jωLIm∠θ=jωLI⃗\begin{aligned} \vec{V}&=\omega L I_m\angle(\theta+90^\circ)\\ &=\omega L I_m e^{j(\theta+90^\circ)}=\omega L I_m e^{j\theta}e^{j90^\circ}\\ &=j\omega L I_m\angle\theta\\ &=j\omega L\vec{I} \end{aligned}

因此

ZL=V⃗I⃗=jωLZ_L=\frac{\vec{V}}{\vec{I}}=j\omega L

相域中的电容

iC(t)=CdV(t)dt,V(t)=V(0)+1C∫0tiC(τ) dτi_C(t)=C\frac{dV(t)}{dt},V(t)=V(0)+\frac{1}{C}\int_0^{t}i_C(\tau)\,d\tau

本章主要探讨交流稳态分析，故：

Vc(t)=1C∫−∞tiC(τ) dτV_c(t)=\frac{1}{C}\int_{-\infin}^{t}i_C(\tau)\,d\tau

设

V(t)=Vmcos(ωt+θ),V⃗=Vm∠θV(t)=V_m cos(\omega t+\theta),\vec{V}=V_m \angle \theta

则

iC(t)=Cddt[Vmcos(ωt+θ)]=−ωCVmsin(ωt+θ)=ωCVmcos(ωt+θ+90∘)\begin{aligned} i_C(t)&=C\frac{d}{dt}\left[V_m cos(\omega t+\theta)\right] =-\omega C V_m sin(\omega t+\theta)\\ &=\omega C V_m cos(\omega t+\theta+90^\circ) \end{aligned}

两边同时进行相域转换

I⃗=ωCVm∠(θ+90∘)=ωCVmej(θ+90∘)=ωCVmejθej90∘=jωCVm∠θ=jωCV⃗\begin{aligned} \vec{I}&=\omega C V_m\angle(\theta+90^\circ)\\ &=\omega C V_m e^{j(\theta+90^\circ)}=\omega C V_m e^{j\theta}e^{j90^\circ}\\ &=j\omega C V_m\angle\theta\\ &=j\omega C\vec{V} \end{aligned}

因此

ZC=V⃗I⃗=1jωC=−jωCZ_C=\frac{\vec{V}}{\vec{I}} =\frac{1}{j\omega C} =-\frac{j}{\omega C}

阻抗Z(impedance)Z(impedance)与导纳Y(admittance)Y(admittance)

Z=R+jXZ=R+jXY=1ZY=\frac{1}{Z}Y=G+jB=1R+jX=RR2+X2−jXR2+X2Y=G+jB=\frac{1}{R+jX}=\frac{R}{R^2+X^2}-j\frac{X}{R^2+X^2}

CAUTION

相域中的RR与GG、XX与BB不再互为倒数!

相域的节点电压法与网目电流法

相域中的KCL、KVL

弦波电流

iK(t)=ImKcos(ωt+θK)i_K(t)=I_{mK}cos(\omega t+\theta_K)

由 KCLKCL 流出节点的总电流和为0（以流入为负）

∑K=1nIK=0\sum_{K=1}^n I_K=0

可得

∑K=1nImKcos(ωt+θK)=0\sum_{K=1}^n I_{mK}cos(\omega t+\theta_K) =0

两边同时进行相域转换

∑K=1nImK∠θK=0+j0or I⃗1+I⃗2+...+I⃗n=0\sum_{K=1}^n I_{mK}\angle \theta_K =0+j0 \text{or } \vec{I}_1+\vec{I}_2+...+\vec{I}_n=0

弦波电压

VK(t)=VmKcos(ωt+ϕK)V_K(t)=V_{mK}cos(\omega t+\phi_K)

由 KVLKVL 经过元件的总压降和为0（以压降为正）

∑K=1nVK=0\sum_{K=1}^n V_K=0

可得

∑K=1nVmKcos(ωt+ϕK)=0\sum_{K=1}^n V_{mK}cos(\omega t+\phi_K) =0

两边同时进行相域转换

∑K=1nVmK∠ϕK=0+j0or V⃗1+V⃗2+...+V⃗n=0\sum_{K=1}^n V_{mK}\angle \phi_K =0+j0 \text{or } \vec{V}_1+\vec{V}_2+...+\vec{V}_n=0

相域的重叠原理

相域的戴维宁-诺顿等效电路

电源转换

交流稳态功率分析

交流电功率

若

V(t)=Vmcos(ωt+θv),V⃗=Vm∠θvV(t)=V_m cos(\omega t+\theta_v),\vec{V}=V_m \angle{\theta_v} i(t)=Imcos(ωt+θi),I⃗=Im∠θii(t)=I_m cos(\omega t+\theta_i),\vec{I}=I_m \angle{\theta_i}

不妨设

V(t)=Vmcos(ωt+θv−θi)V(t)=V_m cos(\omega t+\theta_v-\theta_i) i(t)=Imcos(ωt)i(t)=I_m cos(\omega t)

则

瞬时功率 Instantaneous power
p(t)=V(t)i(t)=Vmcos(ωt+θv−θi)Imcos(ωt)=VmIm2cos(θv−θi)+VmIm2cos(2ωt+θv−θi)=VmIm2cos(θv−θi)+VmIm2cos(θv−θi)cos(2ωt)−VmIm2sin(θv−θi)sin(2ωt)(积化和差)\begin{aligned} p(t)&=V(t)i(t) \tag{\text{积化和差}}\\ &=V_m cos(\omega t+\theta_v-\theta_i)I_m cos(\omega t) \\ &=\frac{V_m I_m}{2}cos(\theta_v-\theta_i)+\frac{V_m I_m}{2}cos(2\omega t+\theta_v-\theta_i)\\ &=\frac{V_m I_m}{2}cos(\theta_v-\theta_i)+ \frac{V_m I_m}{2}cos(\theta_v-\theta_i)cos(2\omega t)-\frac{V_m I_m}{2}sin(\theta_v-\theta_i)sin(2\omega t) \end{aligned}

CAUTION

记

P=VmIm2cos(θv−θi),Q=VmIm2sin(θv−θi)P=\frac{V_m I_m}{2}cos(\theta_v-\theta_i),Q=\frac{V_m I_m}{2}sin(\theta_v-\theta_i)

则

p(t)=P+Pcos(2ωt)−Qsin(2ωt)p(t)=P+Pcos(2\omega t)-Qsin(2\omega t)
平均功率 Average power (namely, real power)

由

p(t)=P+Pcos(2ωt)−Qsin(2ωt)p(t)=P+Pcos(2\omega t)-Qsin(2\omega t)

则平均功率为

1T∫t0t0+Tp(τ) dτ=P=VmIm2cos(θv−θi)\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}p(\tau)\,d\tau=P=\frac{V_m I_m}{2}cos(\theta_v-\theta_i)
虚功率 Reactive power (namely, imaginary power)
Q=VmIm2sin(θv−θi)Q=\frac{V_m I_m}{2}sin(\theta_v-\theta_i)
复数功率 Complex power
S⃗=V⃗rmsI⃗rms∗=P+jQ\vec{S}=\vec{V}_{rms}\vec{I}_{rms}^*=P+jQ
视在功率 Apparent power
∣s⃗∣=P2+Q2|\vec{s}|=\sqrt{P^2+Q^2}
功率因数 Power factor
0≤P∣s⃗∣=PP2+Q2≤10\le \frac{P}{|\vec{s}|}=\frac{P}{\sqrt{P^2+Q^2}} \le 1

复功率守恒

最大功率转移

当负载LL的阻抗等于戴维宁等效阻抗的共轭复数时，具有最大功率转移

ZL=ZTH∗Z_L = Z_{TH}^*

平衡三相电路

基本概念

YY连接
Δ\Delta连接

YY-YY 连接

YY-Δ\Delta 连接

Δ\Delta-YY 连接

Δ\Delta-Δ\Delta 连接

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