六、电路与拉普拉斯变换

拉普拉斯变换

$Y(s)$ 为输出信号的拉普拉斯变换， $X(s)$ 为输入信号的拉普拉斯变换。
转移函数 $H(s)$ 与 $Y(s)$ 和 $X(s)$ 的关系式为

H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}

其中

当输入信号变为 $X'(s)$ 时，对应的输出信号为

\begin{aligned} Y'(s)&=H(s)X'(s)\\ &=\frac{Y(s)}{X(s)}X'(s) \end{aligned}

注

暂态解必定来源于转移函数的极点，稳态解必定来源于输入电源的零点

若电路中存在两个或多个电压源、电流源
依据重叠原理得到的多个 $H_{V_n/I_n}(s)$ ，是n个输入分别单独作用下的输出响应的转移函数。
因此，完整的系统实际上是：

\begin{aligned} Y(s)&=H_{V_1}(s) V_{s_1}(s)+H_{I_1}(s) I_{s_1}(s)+...+H_{V_n}(s) V_{s_n}(s)+H_{I_n}(s) I_{s_n}(s)\\ &=\sum_{k=1}^n [H_{V_k}(s) V_{s_k}(s)+H_{I_k}(s) I_{s_k}(s)] \end{aligned}

转移函数 $H(s)$ 在正弦稳态分析中可以直接取

s=j\omega

则

H(s)=H(j\omega)=∣H(j\omega)∣\angle \theta(\omega)

当输入信号为

X(s)=Acos(\omega t+\phi)=A\angle \phi

对应的输出信号为

\begin{aligned} Y(s)&=H(j\omega)X(s)\\ &=∣H(j\omega)∣\angle \theta(\omega) A\angle \phi =A∣H(j\omega)∣\angle(\theta(\omega)+\phi)\\ Y_{ss}(t)&=A∣H(j\omega)∣cos(\omega t+\theta(\omega)+\phi) \end{aligned}