一、基本电路观念

电路变量的定义

电流

电流是每单位时间通过的电荷量

i = \frac{dq}{dt}

电压

每单位电荷通过物理元件时，功/能量的变化量

v = \frac{dw}{dq}

功率

功率是

P = \frac{dW}{dt} = \frac{dW}{dQ} * \frac{dQ}{dt} = vi

能量

功率P对时间t的积分

W_{ab} = \int_{a}^{b} P(t)\,dt

W(t)=\int_{-\infty}^t P(\tau)\,d\tau

元件模型

电阻

欧姆定律

V=Ri

i=\frac{1}{R}V=GV

电容

由

Q = C*V

\frac{dQ}{dt} = C \frac{dV(t)}{dt}

即:

i(t) = C \frac{dV(t)}{dt}

则

\begin{aligned} V(t) &= \int_{-\infty}^{t} \frac{i({\tau})}{C}\,d{\tau} =\int_{-\infty}^0 \frac{i({\tau})}{C}\,d{\tau}+\int_0^{t} \frac{i({\tau})}{C}\,d{\tau}\\ &=V(0)+\frac1{C}\int_0^{t} i({\tau})\,d{\tau} \end{aligned}

电感

由

LI=N\phi

\frac{dN\phi}{dt} = L \frac{di(t)}{dt}

即:

V(t) = L \frac{di(t)}{dt}

则

\begin{aligned} i(t) &= \int_{-\infty}^{t} \frac{V({\tau})}{L}\,d{\tau} =\int_{-\infty}^0 \frac{V({\tau})}{L}\,d{\tau}+\int_0^{t} \frac{V({\tau})}{L}\,d{\tau}\\ &=i(0)+\frac1{L}\int_0^{t} V({\tau})\,d{\tau} \end{aligned}

KCL与KVL

节点、元件、回路、网目

节点数： N(node)
元件数： B(branch)
回路数： L(loop)
网目数： M(mesh)

节点(node)

节点是电路中由理想导线直接连接起来的、具有相同电势的一组点。
是“导线直接连通的电气区域”，不是“一个小圆点”，没有经过元件，整条导线都是同一个节点。

回路(loop)

网目(mesh)

指不可再分解为回路的回路

注

一个未知电路中若有B个元件，则有2B个电路变量( $V_x$ 和 $I_x$ )
关系式： $M=B-(N-1)$

KCL

流出节点的总电流和为0（以流入为负）

\sum_{K=1}^n I_K=0

KVL

经过元件的总压降和为0（以压降为正）

\sum_{K=1}^n V_K=0

2B法

$N$ 个节点，可根据 $KCL$ 得到 $N-1$ 个等式
$M$ 个网目，可根据 $KVL$ 得到 $M$ 个等式
$B$ 个元件，可根据 $component model$ 得到 $B$ 个等式

根据NMB关系式可得总计

$N-1+M+B=2B$

个等式

简单电阻网路的速解法

理解等效电阻

R_{eq} = R_1+R_2+...+R_n=R_a\parallel R_b\parallel...\parallel R_z

之所以称为等效电阻不是因为三者在数值上相等，而是因为它们在同样电路环境中，对外部造成的电压和电流均相等，切不可倒果为因.

特别的，在并联电路中，等效电阻公式可由：

\frac{1}{R_{\mathrm{eq}}}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{R_i}

推导出：

R_{\mathrm{eq}}=\frac{R_1R_2\cdots R_n}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left(\prod_{\substack{j=1\\j\ne i}}^{n}R_j\right)}

例如： 3个电阻并联的等效电阻

R_{eq}=\frac{R_1R_2R_3}{R_2R_3+R_1R_3+R_1R_2}

串联分压

并联分流

$\Delta$ 与 $Y$ 电路等效变换

$\Delta$ 转 $Y$

$Y$ 转 $\Delta$